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Blender社区数学基础十日谈

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发表于 2020-4-19 14:35:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

这是一个粗略的叙事方法,里面的内容相当的不严谨,请各位以教科书内容为准。


Blender社区数学基础十日谈


前三天:集合 关系 群论 代数学

中三天:点集拓扑,可测集,测度论,泛函,分析学

后三天:代数拓扑,微分几何,黎曼几何,几何学

最后一天:概率,随机


如是列出如此一个提纲,给大家的提示是:首先你需要买这么多本书。然后才能学会这么多数学


但是,从我的角度来说,社区如何直觉的知道一些基本概念,至少能够很快的上手一些论文,然后检验下到底放到Blender里面有没有用,是不是可以捣鼓出代码来,通过这些渠道我们还是可以了解个大概,快速的对所看到的论文做出一个判断。


一般来说:数学大致的分为: 代数 分析 几何 这三类,我们这里把数论放到代数中,概率啥的丢到分析里。

一般情况下,每个分类都会从集合和数理逻辑出发,然后研究点集,再研究空间,研究空间是否可测,是否有度量关系。

数理逻辑和集合论是 三个分类的基础。

代数会从集合出发,到群 一种有着单一代数关系的集合,然后 再到环有两种代数关系的集合,到域,然后是域的扩张。然后再在环上的模,可以把这个模理解为向量,这样里面的代数关系组成了,线性部分的代数,就是线性代数,后面有双线性代数,二次型代数,有了张量代数,一种吃进向量吐出数的代数系统,张量代数里还有外代数等,后面还有几何代数系统,李代数等也可以归类到代数里面。通过研究域等,很多数论的东西就放在这里面了。


分析会从集合出发,到点集的聚点,内点,界点,开集 闭集 完备集,再到可测和不可测空间,到可测不可测函数,自然引出了微积分,再在这些空间上求更多的一些关系,一些分类,引导出可不可微分,可不可积分等概念,然后通过泛函把微分积分方程都归纳成泛函。把概率放入这里,是因为随机变量可以进行积分,后面的大数定理,中心极限定理等都是在研究一个可以度量空间中的一些性质。特别是随机过程等等,都是在研究不动点理论的基础上形成的。


几何会从集合出发,然后到一个抽象的拓扑空间,然后是同胚的连续性,在拓扑空间的紧致性以及这个空间的连通性,这里也有可数的概念和集合是不是有可数基的概念密切相关,然后通过对拓扑空间的剖分(通过单纯复形),我们手里面就有了很多可以用等式方法来做的事情,这样就到了代数拓扑,代数拓扑在剖分的基础上,对拓扑不变量,也就是同胚的时候,是不是具有一些值是不变的,解决这块问题的方法一般是同调的方法。这里拓扑跟群发生了关系,有一种拓扑群,就是既是拓扑空间,又是群,我们现在我们的工具不够,只能看拓扑群的简单性质,随后通过流形搞了李代数李群来研究这些拓扑群。后来,我们把空间中的曲面和分析学进行关联,然后就有了,曲率/绕率之类的概念,这都是通过对与欧氏空间同胚的曲面进行微积分来分析的,这就是微分几何,再通过对曲面一点的切平面分析,以及在曲面上寻找一些微分结构,又把张量这个代数系统引入到了几何中,随后,我们看到了一种东西,就是局部都和欧氏空间同胚但是又整体跟欧氏空间不同胚的东西,叫做微分流形,它可以微分多次。后面就是测地线的问题,张量在这里为了简单。再后来就是研究曲面的整体性质,根据一个黎曼度量,来确定它的曲率和欧拉示数性之间的关系,可以看出,我们剖分了曲面,求了每个小形状的角度,最后,通过曲率又把代数的东西算回来了。


写了这么多废话,我们发现,数学就是从集合开始研究,细分成几路,最后变成了一堆工具,当用到几何上面的时候,这些工具突然都提供了有力支撑。研究的东西越模糊,研究的手段越多,研究的越仔细,研究手段反而很少。


所以,现在有一个什么 朗兰根纲领,用来统一 代数 几何 分析。


说了上面一堆废话,那么你会问,这跟Blender又什么关系,又跟图形学有什么关系。


我们看,图形学主要就是一个一般线性群,于是有了旋转,移动,缩放,群的表示为线性代数和张量代数。因为它们都有很多抽象相同的性质。然后渲染方程是一个Fredholm 2型方程,这个是分析曲面上的曲线的brdf函数来得到的。UV这块正是因为有剖分这项家传手艺的支持,通过单纯逼近,让曲面平坦。建模时候的基础数据结构,半边结构,就是通过剖分,然后还有可定向曲面的规矩,制定出来的一个最小单纯复形,可以通过这种数据结构来表达任意的曲面形式。最近的雕刻(能动张量与曲率的关系)和重拓扑也是来自于这些工具和手段。那么还有什么是数学解决不了的呢。



发表于 2020-4-20 09:20:11 | 显示全部楼层
数学和物理支撑着数字图形学,真希望能和你们谈论学术。无奈读书不努力,不过我想过几年后就好了。
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